วันจันทร์ที่ 25 กรกฎาคม พ.ศ. 2554

การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

       สมการพหุนาม(Polynomial equation) ที่มีตัวแปรเดียว หมายถึง สมการที่อยู่ในรูปของ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_1x+a_0 = 0 โดยที่ a_n, a_{n-1}, cdots ,a_1, a_0 เป็นค่าคงตัว x เป็นตัวแปรและ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ แล้วถ้า a_nneq 0 เราจะเรียกสมการพหุนามนี้ว่าเป็นสมการพหุนามดีกรี(degree) n ตัวอย่างเช่น

2x+1 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 1
2x^2+3x+1 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 2
3x^3+2x^2-12x-8 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 3

          โดยที่นอกจาก การนำคุณสมบัติของระบบจำนวนจริง มาแก้ปัญหาสมการพหุนามดีกรี มากกว่าหรือเท่าหนึ่งแล้ว เราก็สามารถนำวิธีการอื่นมาใช้ได้อีกมากมายหลายวิธี เช่น การใช้สูตรการทำให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ การแยกตัวประกอบ ตัวนี้ละคะที่สำคัญมากๆ ในการที่จะนำมาใช้ เราอาจแยกตัวประกอบอย่างง่ายๆ โดยการทำให้อยู่ในรูปผลต่างกำลังสอง ผลบวกของกำลังสาม หรือ ผลต่างของกำลังสามก็ได้คะ โดยอาศัยจากสูตรข้างล่างนี้คะ

a^2+b^2 = (a+b) (a-b)
a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)
a^3-b^3 = (a-b) (a2+ab+b2)


          อธิบายอย่างเดียวก็เดี๋ยวจะง่วงกันเสียก่อน ดังนั้นเรามาลองทบทวนวิธีการแก้ปัญหาสมการพหุนามอย่างง่ายๆกันดีกว่านะคะ แต่ก่อนอื่นต้องขอบอกไว้ก่อนว่าวิธีการแยกตัวประกอบมีมากกว่าสามวิธีทางข้างต้นนะคะ รายละเอียดทั้งหมดจะแสดงอยู่ด้านล่างดังนี้คะ

การแก้สมการดีกรีสูงกว่าสอง โดยการแยกตัวประกอบ
      1. การเอาตัวร่วมออก ax^2+bx-x = x(ax+b-1)
      2. ผลต่างกำลังสอง a^2-b^2 = (a-b) (a+b)
      3. ผลบวกกำลังสาม a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)
      4. ผลต่างกำลังสาม a^3-b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)
      5. กำลังสามของผลบวก (a+b)^3 = (a^3+3a^2b+ab^2+b^3)
      6. กำลังสามของผลต่าง (a-b)^3 = (a^3-3a^2b+ab^2-b^3)
      7. กำลังสองสมบูรณ์ (a+b)^2 = (a^2+2ab+b^2)
      8. การแยก สามพจน์เป็นสองวงเล็บ
      9. การแยกตัวประกอบโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

          จากเนื้อหาดังข้างต้น เราจะพบได้ว่า วิธีการอย่างหนึ่งที่กันอย่างมากในเรื่องของการแก้อสมการ นั้นก็คือ การแยกตัวประกอบ ซึ่งการแยกตัวประกอบจะง่ายหรือยากนั้นขึ้นอยู่กับ พหุนามที่กำหนดให้ และทฤษฎีบทที่มีประโยชน์มากในเรื่องของการแยกตัวประกอบ นั้นก็คือ ทฤษฎีบทเศษเหลือ ซึ่งเราจะกล่าวถึงต่อไป

การหารสังเคราะห์ (Synthetic division)
          การหารสังเคราะห์ เป็นเรื่องที่ว่าด้วยการหารพหุนาม ที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ด้วยพหุนามที่อยู่ในรูป x-a เมื่อ aneq 0 เช่น 2x^3-x^2-8x+15 =?

          วิธีการหาคำตอบ เราอาจใช้การหารยาว ซึ่งจะเสียเวลาและใช้เนื้อที่ในการเขียนมาก ดังนั้นการหารสังเคราะห์ เป็นวิธีลัดในการหาผลหาร และเศษจากการหาร จากตัวอย่างโจทย์ข้างต้น เราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของการหารสังเคราะห์ได้ดังนี้
2  -1  -8  15  แถวที่ 1
     -4  -6   4  แถวที่ 2
  2  3  -2  11  แถวที่ 3
ดังนั้น เราจึงสามารถสรุปขั้นตอนสำหรับการ หารสังเคราะห์ได้ดังนี้

สมมุติให้ P(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ถ้าต้องการหาร P(x) ด้วย x-c เมื่อ cneq 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังนี้

1. เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่างๆ ของ P(x) เมื่อเรียงดีกรีจากมากไปน้อยแล้ว ถ้าบางพจน์ไม่มีให้ถือ สัมประสิทธิ์นั้นเป็น 0
2. เขียน c เป็นตัวหาร
3. จำนวนแรกในแถวสาม จะเท่ากับจำนวนแรกในแถวหนึ่ง
4. นำ c ไปคูณกับจำนวนแรกของแถว 3 นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวสอง
5. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่งและแถวที่สองในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันของแถวที่สาม
6. นำ c คูณกับจำนวนใดตำแหน่งที่สองของแถวที่ สาม นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่สอง
7. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่ง และแถวที่สองในตำแหน่งที่สาม นำผลไปใส่ในตำแหน่งเดียวกัน ของแถว ที่สามทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนหมดทุกตำแหน่ง จะได้ว่า

* จำนวนทุกจำนวนในแถวที่สาม(ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร ซึ่งเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่า P(x) อยู่ 1
** จำนวนสุดท้ายในแถวที่สามเป็นเศษจากการหาร
*** ถ้าเศษเป็น 0 จะเรียกตัวหาร x-c ว่าตัวประกอบ P(x)
                             
เขียนโดย ที่

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

สมัครสมาชิก: ส่งความคิดเห็น (Atom)