วันจันทร์ที่ 25 กรกฎาคม พ.ศ. 2554

จำนวนจริง (Real number)

ที่มาของจำนวนจริง
        ปัจจุบันหากพวกเราเลี้ยงสัตว์เพื่อจุดประสงค์เพื่อการค้าขาย หรือเลี้ยงไว้เพื่อครัวเรือนเองนั้น เราก็จะต้องมีการดูแลและคอยนับจำนวนสัตว์เลี้ยงที่อยู่ในความดูแลของพวกเราเสมอ อาจจะเพื่อการสำรองอาหารให้พอดีกับจำนวนสิ่งมีชีวิตที่เลี้ยงไว้ หรือ ป้องกันการลักลอบขโมยก็ได้ แล้วพวกเราเคยคิดกลับกันไหมว่า หากว่าเป็นในสมัยยุคดึกดำบรรพ์แล้วนั้น พวกเขาจะทำกันอย่างไร ในเมื่อในสมัยนั้นยังไม่มีการค้นพบตัวเลขใดๆทั้งสิ้น
          เริ่มแรกมนุษย์รู้จักจำนวนเพราะมีความจำเป็นต้องใช้ในการดำรงชีวิต คนเลี้ยงสัตว์ต้องนับจำนวนสัตว์ที่เลี้ยงว่ามีครบจำนวนหรือไม่ พวกเขาสามารถที่จะคอยนับจำนวนสัตว์เลี้ยงทีละตัวได้ด้วยการแทนก้อนหินหนึ่งก้อนเท่ากับจำนวนสัตว์หนึ่งตัวจึงเกิดจำนวนนับขึ้นมา
           ดังนั้นเราจึงเห็นว่า มนุษย์มีการคิดเรื่องจำนวนมาตั้งแต่สมัยดึกดำบรรพ์ และ จำนวนที่มนุษย์คิดขึ้นได้เป็นครั้งแรกนั้นก็คือ “จำนวนนับ” หรือ ยกตัวอย่างได้ง่ายๆก็คือ 1,2,3,4…..ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อต่อไป
 - โครงสร้างและบทนิยามของระบบจำนวนจริง
 -  สมบัติของจำนวนจริง
 - การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว
 - การหารสังเคราะห์
 - สมบัติของการไม่เท่ากัน
 - ช่วง
 - การแก้อสมการ    
 - สัจพจน์ความบริบุรณ์                   

เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

จำนวนเต็ม

9330


           จากแผนภาพข้างต้น คือองค์ประกอบที่สำคัญของจำนวนจริง ทีนี้เรามาดูกันดีกว่านะคะว่านิยามของแต่ละตัวภายในระบบจำนวนจริงนั้น มีอะไรบ้าง

จำนวนเต็ม
            จากหัวข้อที่แล้ว ที่เคยเกริ่นไว้ตั้งแต่แรกไว้ว่า จำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย mathbb{N} หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย mathbb{I}^+ นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย mathbb{I}ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้

ตัวอย่าง

mathcal{I} = {0,1-,1,2,-2,3,-3, cdots}

mathcal{I}^+ = {1,2,3,4,5, cdots}

mathcal{I}^- = {cdots ,-5,-4,-3,-2,-1}

0 ไม่ถือว่าเป็นทั้งจำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนเต็มลบ แต่จะถือว่าเป็นเพียงแค่นวนเต็มศูนย์


จำนวนเศษส่วน
           สำหรับเรื่องเศษส่วนจำนวนเต็ม เป็นไปได้โดยง่ายที่เราจะสามารถมองเห็นความแตกต่างระหว่างเศษส่วนและจำนวนเต็มได้เป็นอย่างดี

ตัวอย่าง
                                                   เศษส่วน : displaystyle{frac{1}{2} , frac{22}{7} , -frac{131}{54}}

            จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มนั้น ตัวส่วนจะต้องไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นแล้ว ค่าขอจำนวนจะกลายเป็นสิ่งที่ไม่สามารถหาค่าได้ หรือเป็น อินฟินิตี้


จำนวนตรรกยะ (rational number)
            จากแผนภาพทางข้างต้นที่กำหนดมาให้นั้น เราจะพบว่า ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนเศษส่วนนั้น ล้วนแล้วแต่เป็นองค์ประกอบของ จำนวนตรรกยะทั้งสิ้น แล้วมันเกี่ยวเนื่องกันอย่างไรละ ดังนั้น เราลองมาดูนิยามง่ายๆเกี่ยวกับความหมายของมันเลยดีกว่าคะ

           จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน frac{a}{b}โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b neq 0
            จากนิยามทางข้างต้น ถ้าเราพบว่า a เป็นจำนวนเต็มใดๆ และ displaystyle{a = frac{a}{1}} แล้วละก็ เราก็จะสามารถเขียน a ให้อยู่ในรูปของเศษส่วน ของจำนวนเต็มได้เสมอ เช่น displaystyle{5= frac{5}{1} , 3= frac{3}{1} , 0= frac{0}{1} ,-4= -frac{4}{1}} ดังนั้น เราจะเห็นได้ชัดๆ เลยนะว่า จำนวนเต็มทุกจำนวน เป็นจำนวนตรรกยะ และตอนนี้เราจะให้ mathcal{Q} แทนด้วยเซตของจำนวนตรรกยะ และเรามีนิยามสำหรับตัวมันเองด้วยก็คือ

                                      displaystyle{mathcal{Q} = {x | x =frac{a}{b}} เมื่อ displaystyle{a in mathcal{I}}, displaystyle{b in mathcal{I}} และ b neq 0}

              จากทั้งหมดที่กล่าวถึงมานั้น ล้วนแล้วแต่เป็นความหมายที่เกี่ยวเนื่องกับจำนวนตรรกยะทั้งสิ้น ดังนั้น เราจะมาสรุปให้ชัดๆกันไปเลยว่า จำนวนตรรกยะนั้น ได้แก่จำนวนชนิดใดบ้าง ซึ่งจะแสดงให้ดูดังต่อไปนี้

1. จำนวนเต็ม
2. จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม โดยที่ตัวส่วนจะไม่เป็นศูนย์
3.จำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ
4.จำนวนที่เป็นทศนิยมซ้ำๆ

              เรื่องสุดท้ายในหัวข้อนี้ เราจะรู้จักจำนวนนับ จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนเต็มลบ และจำนวนตรรกยะ จากที่กำหนดให้ว่า

mathcal{Q} แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
mathcal{I} แทนเซตของจำนวนเต็ม
mathcal{N} แทนเซตของจำนวนนับ
mathcal{I}^0 แทนเซตของจำนวนเต็มศูนย์
mathcal{I^+} แทนเซตของจำนวนเต็มบวก
mathcal{I^-} แทนเซตของจำนวนเต็มลบ

               เซตของจำนวนตรรกยะ เป็นเซตที่มีขอบเขตเพียงแค่ การบวก การลบ การคูณ และการหาร นอกจากนั้น เราพบว่า
ผลบวกของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ
ผลลบของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ
ผลคูณของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ
แสดงว่าเซตของจำนวนตรรกยะ มีคุณสมปิดของการบวก การลบ และการคูณ


จำนวนอตรรกยะ (irrational number)
               จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ แต่สามารถเขียนเป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำได้
เอ่ยแค่นิยาม ทุกคนก็คงจะทราบกันดีแล้วนะคะว่ามีความแตกต่างกันอย่างมากระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำเป็นต้องอยู่ในรูปของทศนิยมแบบรู้จบ และสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ง่ายๆเลยใช่ไหมคะ ยกตัวอย่างให้เห็นง่ายเลยคือ ในจำนวนอตรรกยะนั้นอย่างเช่น sqrt{2} หรือ จำนวนในรูปที่ติดอยู่ในฟอร์มทศนิยมไม่ซ้ำ 2.449897. . ., 3.9681187. . . หรือกระทั่งจำนวนที่ติดอยู่ในรูปลักษณะพิเศษ เช่น pi, c (c = 2.718 เป็นค่าประมาณ)
            เมื่อเรานำเซตของจำนวนตรรกยะ มายูเนียนกับจำนวนอตรรกยะ เราก็จะได้เซตที่เรียกว่า “เซตของจำนวนจริง” ซึงในที่นี้เราเขียนแทนสัญลักษณ์ด้วย mathcal{R} และเรามีนิยามเล็กๆเพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจด้วยว่า

                           mathcal{R} = {x| x เป็นจำนวนตรรกยะ หรือ x เป็นจำนวนอตรรกยะ}

            ด้วยเหตุที่เซตของจำนวนตรรกยะ mathcal{Q} และเซตของจำนวนอตรรกยะ mathcal{Q}' เป็นเซตต่างสมาชิก และเมื่อนำมายูเนียนกันแล้ว จะได้เซต mathcal{R} ดังนั้น เซตของจำนวนอตรรกยะ mathcal{Q}'= mathcal{R}-mathcal{Q}
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง    
        กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
        1.  สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
        2.  สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
        3.  สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
        4.  เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0
       นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
       5.  อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
     นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก
สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
        1.  สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง
        2.  สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = bc
        3.  สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ a(bc) = (ab)c
        4.  เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1
       นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ
        5.  อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠  0
     นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สของการคูณ
        6.  สมบัติการแจกแจง
                 a( b + c ) = ab + ac
                 ( b + c )a = ba + ca
        
   จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆได้ดังนี้
ทฤษฎีบทที่ 1  กฎการตัดออกสำหรับการบวก
                          เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
                          ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
                          ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 2  กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
                           เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
                           ถ้า ac = bc และ c ≠  0 แล้ว a = b
                           ถ้า ab = ac และ a ≠  0 แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 3  เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
                           a · 0 = 0
                           0 · a = 0

ทฤษฎีบทที่ 4  เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
                           (-1)a = -a
                           a(-1) = -a


ทฤษฎีบทที่ 5  เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
                   ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

ทฤษฎีบทที่ 6  เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
                           a(-b) = -ab
                           (-a)b = -ab
                           (-a)(-b) = ab
         
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

       สมการพหุนาม(Polynomial equation) ที่มีตัวแปรเดียว หมายถึง สมการที่อยู่ในรูปของ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_1x+a_0 = 0 โดยที่ a_n, a_{n-1}, cdots ,a_1, a_0 เป็นค่าคงตัว x เป็นตัวแปรและ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ แล้วถ้า a_nneq 0 เราจะเรียกสมการพหุนามนี้ว่าเป็นสมการพหุนามดีกรี(degree) n ตัวอย่างเช่น

2x+1 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 1
2x^2+3x+1 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 2
3x^3+2x^2-12x-8 = 0 เป็นสมการพหุนามดีกรี 3

          โดยที่นอกจาก การนำคุณสมบัติของระบบจำนวนจริง มาแก้ปัญหาสมการพหุนามดีกรี มากกว่าหรือเท่าหนึ่งแล้ว เราก็สามารถนำวิธีการอื่นมาใช้ได้อีกมากมายหลายวิธี เช่น การใช้สูตรการทำให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ การแยกตัวประกอบ ตัวนี้ละคะที่สำคัญมากๆ ในการที่จะนำมาใช้ เราอาจแยกตัวประกอบอย่างง่ายๆ โดยการทำให้อยู่ในรูปผลต่างกำลังสอง ผลบวกของกำลังสาม หรือ ผลต่างของกำลังสามก็ได้คะ โดยอาศัยจากสูตรข้างล่างนี้คะ

a^2+b^2 = (a+b) (a-b)
a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)
a^3-b^3 = (a-b) (a2+ab+b2)


          อธิบายอย่างเดียวก็เดี๋ยวจะง่วงกันเสียก่อน ดังนั้นเรามาลองทบทวนวิธีการแก้ปัญหาสมการพหุนามอย่างง่ายๆกันดีกว่านะคะ แต่ก่อนอื่นต้องขอบอกไว้ก่อนว่าวิธีการแยกตัวประกอบมีมากกว่าสามวิธีทางข้างต้นนะคะ รายละเอียดทั้งหมดจะแสดงอยู่ด้านล่างดังนี้คะ

การแก้สมการดีกรีสูงกว่าสอง โดยการแยกตัวประกอบ
      1. การเอาตัวร่วมออก ax^2+bx-x = x(ax+b-1)
      2. ผลต่างกำลังสอง a^2-b^2 = (a-b) (a+b)
      3. ผลบวกกำลังสาม a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)
      4. ผลต่างกำลังสาม a^3-b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)
      5. กำลังสามของผลบวก (a+b)^3 = (a^3+3a^2b+ab^2+b^3)
      6. กำลังสามของผลต่าง (a-b)^3 = (a^3-3a^2b+ab^2-b^3)
      7. กำลังสองสมบูรณ์ (a+b)^2 = (a^2+2ab+b^2)
      8. การแยก สามพจน์เป็นสองวงเล็บ
      9. การแยกตัวประกอบโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

          จากเนื้อหาดังข้างต้น เราจะพบได้ว่า วิธีการอย่างหนึ่งที่กันอย่างมากในเรื่องของการแก้อสมการ นั้นก็คือ การแยกตัวประกอบ ซึ่งการแยกตัวประกอบจะง่ายหรือยากนั้นขึ้นอยู่กับ พหุนามที่กำหนดให้ และทฤษฎีบทที่มีประโยชน์มากในเรื่องของการแยกตัวประกอบ นั้นก็คือ ทฤษฎีบทเศษเหลือ ซึ่งเราจะกล่าวถึงต่อไป

การหารสังเคราะห์ (Synthetic division)
          การหารสังเคราะห์ เป็นเรื่องที่ว่าด้วยการหารพหุนาม ที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ด้วยพหุนามที่อยู่ในรูป x-a เมื่อ aneq 0 เช่น 2x^3-x^2-8x+15 =?

          วิธีการหาคำตอบ เราอาจใช้การหารยาว ซึ่งจะเสียเวลาและใช้เนื้อที่ในการเขียนมาก ดังนั้นการหารสังเคราะห์ เป็นวิธีลัดในการหาผลหาร และเศษจากการหาร จากตัวอย่างโจทย์ข้างต้น เราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของการหารสังเคราะห์ได้ดังนี้
2  -1  -8  15  แถวที่ 1
     -4  -6   4  แถวที่ 2
  2  3  -2  11  แถวที่ 3
ดังนั้น เราจึงสามารถสรุปขั้นตอนสำหรับการ หารสังเคราะห์ได้ดังนี้

สมมุติให้ P(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ถ้าต้องการหาร P(x) ด้วย x-c เมื่อ cneq 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังนี้

1. เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่างๆ ของ P(x) เมื่อเรียงดีกรีจากมากไปน้อยแล้ว ถ้าบางพจน์ไม่มีให้ถือ สัมประสิทธิ์นั้นเป็น 0
2. เขียน c เป็นตัวหาร
3. จำนวนแรกในแถวสาม จะเท่ากับจำนวนแรกในแถวหนึ่ง
4. นำ c ไปคูณกับจำนวนแรกของแถว 3 นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวสอง
5. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่งและแถวที่สองในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันของแถวที่สาม
6. นำ c คูณกับจำนวนใดตำแหน่งที่สองของแถวที่ สาม นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่สอง
7. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่ง และแถวที่สองในตำแหน่งที่สาม นำผลไปใส่ในตำแหน่งเดียวกัน ของแถว ที่สามทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนหมดทุกตำแหน่ง จะได้ว่า

* จำนวนทุกจำนวนในแถวที่สาม(ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร ซึ่งเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่า P(x) อยู่ 1
** จำนวนสุดท้ายในแถวที่สามเป็นเศษจากการหาร
*** ถ้าเศษเป็น 0 จะเรียกตัวหาร x-c ว่าตัวประกอบ P(x)
                             
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:
สมัครสมาชิก: บทความ (Atom)