จำนวนจริง: จำนวนเต็ม

จากแผนภาพข้างต้น คือองค์ประกอบที่สำคัญของจำนวนจริง ทีนี้เรามาดูกันดีกว่านะคะว่านิยามของแต่ละตัวภายในระบบจำนวนจริงนั้น มีอะไรบ้าง

จำนวนเต็ม
จากหัวข้อที่แล้ว ที่เคยเกริ่นไว้ตั้งแต่แรกไว้ว่า จำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย mathbb{N}

หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย $mathbb{I}^+$ นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย

ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้

ตัวอย่าง

mathcal{I} = {0,1-,1,2,-2,3,-3, cdots}

$mathcal{I}^+ = {1,2,3,4,5, cdots}$

$mathcal{I}^- = {cdots ,-5,-4,-3,-2,-1}$

0 ไม่ถือว่าเป็นทั้งจำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนเต็มลบ แต่จะถือว่าเป็นเพียงแค่นวนเต็มศูนย์

จำนวนเศษส่วน
สำหรับเรื่องเศษส่วนจำนวนเต็ม เป็นไปได้โดยง่ายที่เราจะสามารถมองเห็นความแตกต่างระหว่างเศษส่วนและจำนวนเต็มได้เป็นอย่างดี

ตัวอย่าง
เศษส่วน : $displaystyle{frac{1}{2} , frac{22}{7} , -frac{131}{54}}$

            จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มนั้น ตัวส่วนจะต้องไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นแล้ว ค่าขอจำนวนจะกลายเป็นสิ่งที่ไม่สามารถหาค่าได้ หรือเป็น อินฟินิตี้

จำนวนตรรกยะ (rational number)
            จากแผนภาพทางข้างต้นที่กำหนดมาให้นั้น เราจะพบว่า ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนเศษส่วนนั้น ล้วนแล้วแต่เป็นองค์ประกอบของ จำนวนตรรกยะทั้งสิ้น แล้วมันเกี่ยวเนื่องกันอย่างไรละ ดังนั้น เราลองมาดูนิยามง่ายๆเกี่ยวกับความหมายของมันเลยดีกว่าคะ

           จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน $frac{a}{b}$ โดยที่

และ

เป็นจำนวนเต็ม และ b neq 0

จากนิยามทางข้างต้น ถ้าเราพบว่า

เป็นจำนวนเต็มใดๆ และ $displaystyle{a = frac{a}{1}}$ แล้วละก็ เราก็จะสามารถเขียน a ให้อยู่ในรูปของเศษส่วน ของจำนวนเต็มได้เสมอ เช่น $displaystyle{5= frac{5}{1} , 3= frac{3}{1} , 0= frac{0}{1} ,-4= -frac{4}{1}}$ ดังนั้น เราจะเห็นได้ชัดๆ เลยนะว่า จำนวนเต็มทุกจำนวน เป็นจำนวนตรรกยะ และตอนนี้เราจะให้ mathcal{Q}

แทนด้วยเซตของจำนวนตรรกยะ และเรามีนิยามสำหรับตัวมันเองด้วยก็คือ

$displaystyle{mathcal{Q} = {x | x =frac{a}{b}}$ เมื่อ displaystyle{a in mathcal{I}}

และ

จากทั้งหมดที่กล่าวถึงมานั้น ล้วนแล้วแต่เป็นความหมายที่เกี่ยวเนื่องกับจำนวนตรรกยะทั้งสิ้น ดังนั้น เราจะมาสรุปให้ชัดๆกันไปเลยว่า จำนวนตรรกยะนั้น ได้แก่จำนวนชนิดใดบ้าง ซึ่งจะแสดงให้ดูดังต่อไปนี้

1. จำนวนเต็ม
2. จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม โดยที่ตัวส่วนจะไม่เป็นศูนย์
3.จำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ
4.จำนวนที่เป็นทศนิยมซ้ำๆ

เรื่องสุดท้ายในหัวข้อนี้ เราจะรู้จักจำนวนนับ จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนเต็มลบ และจำนวนตรรกยะ จากที่กำหนดให้ว่า

mathcal{Q}

แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
mathcal{I}

แทนเซตของจำนวนเต็ม
mathcal{N}

แทนเซตของจำนวนนับ
$mathcal{I}^0$ แทนเซตของจำนวนเต็มศูนย์
$mathcal{I^+}$ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก
$mathcal{I^-}$ แทนเซตของจำนวนเต็มลบ

เซตของจำนวนตรรกยะ เป็นเซตที่มีขอบเขตเพียงแค่ การบวก การลบ การคูณ และการหาร นอกจากนั้น เราพบว่า

ผลบวกของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ

ผลลบของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ

ผลคูณของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ

แสดงว่าเซตของจำนวนตรรกยะ มีคุณสมปิดของการบวก การลบ และการคูณ

จำนวนอตรรกยะ (irrational number)
จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ แต่สามารถเขียนเป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำได้
เอ่ยแค่นิยาม ทุกคนก็คงจะทราบกันดีแล้วนะคะว่ามีความแตกต่างกันอย่างมากระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำเป็นต้องอยู่ในรูปของทศนิยมแบบรู้จบ และสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ง่ายๆเลยใช่ไหมคะ ยกตัวอย่างให้เห็นง่ายเลยคือ ในจำนวนอตรรกยะนั้นอย่างเช่น sqrt{2}

หรือ จำนวนในรูปที่ติดอยู่ในฟอร์มทศนิยมไม่ซ้ำ 2.449897. . ., 3.9681187. . . หรือกระทั่งจำนวนที่ติดอยู่ในรูปลักษณะพิเศษ เช่น

, c (c = 2.718 เป็นค่าประมาณ)
เมื่อเรานำเซตของจำนวนตรรกยะ มายูเนียนกับจำนวนอตรรกยะ เราก็จะได้เซตที่เรียกว่า “เซตของจำนวนจริง” ซึงในที่นี้เราเขียนแทนสัญลักษณ์ด้วย mathcal{R}