จำนวนจริง: การแก้อสมการ

           จากที่เราเคยเรียนผ่านกันมาเกี่ยวกับเรื่องการแก้สมการตัวแปรเดียว หรือว่าหลายตัวแปรนั้น มีความเกี่ยวเนื่องบางประการสำหรับการที่จะนำความรู้ของเรื่องสมการนั้นเพื่อนำมาใช้ในบทนี้

           สำหรับหัวข้อนี้นั้น เราจะพูดถึงวิธีการแก้อสมการในรูปแบบต่างๆได้อย่างไร โดยที่คุณสัมบัติหลักที่ใช้มากในการแก้อสมการนั้น คือ คุณสมบัติการไม่เท่ากัน ได้แก่
1. คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน
2. คุณสมบัติการลบด้วยจำนวนเท่ากัน
3. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงบวก
4. คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงลบ

โดยการที่เราจะทำการแก้อสมการนั้น เราจะแยกตามประเภทของอสมการในแต่ละประเภทดังนี้คือ

การแก้อสมการกำลังหนึ่ง
          อสมการกำลังหนึ่งนั้น เป็นอสมการที่มีตัวแปรยกกำลังหนึ่งเท่านั้น และสามารถที่จะจัดอสมการในรูปของ

ax le b

โดยที่เราจะกำหนดให้

เป็นตัวแปร และ a,b

เป็นค่าคงที่ และจากคุณสมบัติดังกล่าวนี้นั้น เราสามารถที่จะนำมาใช้ในการแก้ปัญหาอสมการประเภทนี้ โดยที่คุณสมบัติข้อ 1 และข้อ 2 นั้นจะถือว่าเป็น คุณสมบัติที่ช่วยในการจัดอสมการกำลังหนึ่งให้อยู่ในรูปที่แสดงดังอสมการข้างต้น และพวกเราสามารถที่นำความรู้นี้มาใช้ในการแก้ปัญหาจากโจทย์แบบฝึกหัดได้คะ

การแก้อสมการกำลังสอง          หัวข้อที่แล้วเรากล่าวถึงสมการยกกำลังหนึ่ง ซึ่งสามารถแก้ปัญหาได้โดยง่าย เพราะจะยังไม่มีความซับซ้อนมากเท่าไหร่นัก ซึ่งจากแบบฝึกหัดที่พวกเราได้ทำกันไปแล้วนั้น จะช่วยให้เราสามารถเข้าใจ รับรู้ถึงเทคนิคหรือวิธีบางอย่างในการคำนวณได้ดีมากขึ้น
         สำหรับในหัวข้อนี้ เป็นอีกหนึ่งวิธีสำหรับการแก้อสมการ แต่จะเพิ่มระดับความยุ่งยากขึ้นมามากกว่าเล็กน้อย นั่นคือ การแก้โจทย์ปัญหาอสมการกำลังสอง โดยที่การแก้อสมการประเภทนี้นั้น เราสามารถทำได้หลายวิธีด้วยกัน เช่น การแยกตัวประกอบ หรือ การแก้โจทย์โดยที่ใช้วิธีกำลังสองสมบูรณ์

          การแก้อสมการกำลังสองนั้น มีนิยามที่แสดงได้อย่างง่ายๆคือ อสมการกำลังสอง ใน

หมายถึง อสมการที่อยู่ในรูปของ
Ax+bx+c < 0

โดยกำหนดให้

เป็นตัวแปร และ a,b,c

เป็นค่าคงที่ ที่ aneq 0

ซึ่งอย่างที่บอกไปแล้วนั้นว่า วิธีการแก้อสมการกำลังสองนั้นมีวิธีได้หลายวิธี เรามาดูวิธีการแก้ปัญหาของแต่ละประเภทกันดีกว่านะคะ

1. การแก้สมการสมการกำลังสองโดยการแยกตัวประกอบและสิ่งที่จะเอ่ยดังต่อไปนี้ จะเป็นวิธีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับอสมการอย่างง่ายๆ โดยที่เราจะสรุปเป็นข้อๆ เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจมากขึ้นนะคะ โดยขั้นตอนในการแก้ปัญหานั้นมีขั้นตอนดังนี้

การแก้อสมการกำลัง 2อ้างโดยนิยามที่กล่าวไปดังก่อนหน้านี้ เราสามารถที่จะแสดงวิธีในการแก้อสมการได้ดังนี้
1. จัดอสมการเปรียบเทียบกับ 0
2. แยกตัวประกอบ
3. พิจารณาเครื่องหมาย +,-

4. หาคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้ง 2 กรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกัน
ซึ่งพวกเราสามารถที่จะนำขั้นตอนดังกล่าวมาใช้ได้โดยที่จะสามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและถูกต้อง เช่นตัวอย่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ 3x^2+10x ge 8

วิธีทำ

: จัดสมการเปรียบเทียบกับ 0
(x+4)(3x-2) ge 0

: แยกตัวประกอบ

ซึ่งเราจะต้องแบ่งเครื่องหมายในการพิจารณา โดยมีกรณีดังนี้
1. (+)(+) หรือ x มากกว่าหรือเท่ากับ 0
2. (-)(-) หรือ x น้อยกว่า 0

อีกกรณีหนึ่งที่มีเครื่องหมายต่างกัน เราสามารถที่จะแบ่งได้เป็นสองกรณีเช่นกัน แล้วสุดท้ายจะนำคำตอบที่ได้มายูเนี่ยนกัน

1. x+4 ge 0

และ

และ $x ge frac{2}{3}$

9866

และ

และ $x le frac{2}{3}$

9867

เมื่อเรานำค่าที่แยกตัวประกอบนำมาแบ่งเป็นสองกรณีแล้วนั้น ให้นำคำตอบจากสมการกำลัง 1 จากทั้งสองกรณีแล้วนำมายูเนี่ยนกันเพื่อหาคำตอบสุดท้ายออกมาได้ดังนี้

9868

ดังนั้น คำตอบสุดท้ายที่ได้ออกมาก็คือ $(-infty,4]bigcup [frac{2}{3}, infty)$

วิธีการดังที่กล่าวมาคือสำหรับอสมการกำลังสอง โดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบเป็นหลัก หากแต่เพื่อนๆจะทำอย่างไร หากว่า เพื่อนๆ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้

2. การแก้อสมการกำลังสองโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ในสำหรับกรณีที่เพื่อนๆแก้อสมการกำลังสอง โดยที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ หรือ อาจสามารถทำได้แต่ยากและใช้เวลานาน การแก้อสมการกำลังสองนี้อาจใช้วิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้คะ ซึ่งมีขั้นตอนง่ายๆดังนี้คะ

ขั้นตอนที่ 1 ทำให้อสมการกำลังสองใน

มีสัมประสิทธิ์ของพจน์ x^2

เท่ากับ 1

ขั้นตอนที่ 2 ทำให้อยู่ในรูปของ
$displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2 ge 0}$
$displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2 > 0}$
$displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2 le 0}$
$displaystyle{[x^2+bx+(frac{b}{2})^2]+c-(frac{b}{2})^2 < 0}$
ขั้นตอนที่ 3 แทนค่าให้อยู่ในรูปของ
$displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2 ge 0}$
$displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2 > 0}$
$displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2 le 0}$
$displaystyle{(x+frac{b}{2})^2+c-(frac{b}{2})^2 < 0}$

เพื่อนๆสามารถทำตามขั้นตอนที่กำหนดให้ดังข้างต้น เรียงลงมาได้เลยนะคะ โดยที่เซตคำตอบของอสมการนั้นจะอยู่ที่ขั้นตอนที่ 3

การแก้อสมการที่มีกำลังมากกว่าสอง
ใช้หลักการและวิธีการเช่นเดียวกับการแก้อสมการกำลังสอง ทุกกรณีนั่นคือ ซ้ายมือของอสมการต้องอยู่ในรูปผลคูณของตัวประกอบที่มีกำลังหนึ่ง และสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรต้องเป็นจำนวนบวก ส่วนขวามือของอสมการต้องเป็นศูนย์ นั่นคือทำให้อยู่ในรูปของ

(ax + b)(cx + d)(ex + f) ≤ 0

หรือ (ax + b)(cx + d)(ex + f)(px + q) > 0 เป็นต้น

หลังจากนั้น นำค่า x ที่ทำให้แต่ละตัวประกอบเท่ากับ 0 มากำหนดเป็นจุดบนเส้นจำนวนแล้วใส่เครื่องหมายทางช่องขวามือสุด เป็น + และใส่เครื่องหมาย – กับ + สลับกันมาทางซ้ายมือ

ถ้าอสมการอยู่ในรูปมากกว่า 0 ก็ตอบช่องที่เป็น +

ถ้าอสมการอยู่ในรูปน้อยกว่า 0 ก็ตอบช่องที่เป็น –

ถ้าอสมการมีเครื่องหมายเท่ากับด้วย ก็ต้องตอบค่า x แต่ละตัวประกอบเท่ากับ 0 รวมไปด้วย

จำนวนจริง

วันจันทร์ที่ 25 กรกฎาคม พ.ศ. 2554

การแก้อสมการ

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

ค้นหาบล็อกนี้