จำนวนจริง: สัจพจน์ความบริบูรณ์ (The axiom of completeness)

สมบัติความบริบูรณ์ เป็นสมบัติสุดท้ายของระบบจำนวนจริงคะ ซึ่งทางบทแรกๆของจำนวนจริงนั้นได้เคยพูดถึงคุณสมบัติต่างๆของจำนวนจริงไปแล้วนะคะ ซึ่งสมบัติความบริบูรณ์นี้ จะเป็นสมบัติสุดท้ายของระบบจำนวนจริงที่จำนวนอื่นไม่มี และเรามีชื่อเรียกชื่ออีกอย่างหนึ่งว่า สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยที่สุด (lest upper bound axiom)

ซึ่งก่อนอื่น พวกเราก็ต้องมาทำความรู้จักกับคำว่า “ค่าขอบเขตบท” กันเสียก่อนนะคะ เพราะมันมีความสำคัญมากสำหรับในเรื่องนี้ โดยจากนิยามที่ได้กล่าวเอาไว้ว่า

บทนิยาม ให้ S subset mathcal{R}

กล่าวว่า จำนวนจริง

จะเป็นค่าขอบเขตบนของ

ก็ต่อเมื่อ

มีค่าไม่น้อยกว่าสมาชิกใดๆของ

ในกรณีนี้เราเรียกว่า

มีขอบเขตบน

นั่นก็คือว่า:

เป็นค่าขอบเขตบนของ

ก็ต่อเมื่อ x le u

สำหรับทุกๆ x in S

โดยที่ สัจพจน์ของระบบจำนวนจริงนั้นก็คือ ข้อความที่เป็นจริงได้โดยที่ไม่ต้องพิสูจน์ ซึ่งมีทั้งหมด 15 สัจพจน์ด้วยกัน ดังที่แสดงให้เห็นดังนี้

สัจพจน์ที่ 1 ถ้า a,b in mathcal{R}

จะได้

สัจพจน์ที่ 2 ถ้า a,b,c in mathcal{R}

จะได้

สัจพจน์ที่ 3 มี 0 in mathcal{R}

โดยที่

สำหรับทุก

สัจพจน์ที่ 4 ถ้า a in mathcal{R}

จะมี

ซึ่ง

สัจพจน์ที่ 5 ถ้า a,b in mathcal{R}

จะได้

สัจพจน์ที่ 6 ถ้า a,b in mathcal{R}

จะได้

สัจพจน์ที่ 7 ถ้า a,b,c in mathcal{R}

จะได้

สัจพจน์ที่ 8 มี 1 in mathcal{R},1neq 0

ซึ่ง

สำหรับทุก

สัจพจน์ที่ 9 ถ้า a in mathcal{R},a neq 0

จะมี $a^{-1} in mathcal{R}$ ซึ่ง $a^{-1}a=1$
สัจพจน์ที่ 10 ถ้า a,b in mathcal{R}

จะได้

สัจพจน์ที่ 11 ถ้า a,b,c in mathcal{R}

แล้ว

สัจพจน์ที่ 12 มีสับเซต $mathcal{R}^{+}$ ของ

ซึ่ง $0neq in mathcal{R}^{+}$ และ ถ้า a in mathcal{R}

และ

แล้ว $ain mathcal{R}^{+}$ หรือ $-ain mathcal{R}^{+}$ ประการใดประการหนึ่ง
            สัจพจน์ที่ 13 ถ้า $a,bin mathcal{R}^{+}$ แล้ว $a+bin mathcal{R}^{+}$
            สัจพจน์ที่ 14 ถ้า $a,bin mathcal{R}^{+}$ แล้ว $abin mathcal{R}^{+}$
           สัจพจน์ที่ 15 ถ้า Sneq emptyset, Ssubsetmathcal{R}