จำนวนจริง: กรกฎาคม 2011

วันจันทร์ที่ 25 กรกฎาคม พ.ศ. 2554

จำนวนจริง (Real number)

ที่มาของจำนวนจริง
        ปัจจุบันหากพวกเราเลี้ยงสัตว์เพื่อจุดประสงค์เพื่อการค้าขาย หรือเลี้ยงไว้เพื่อครัวเรือนเองนั้น เราก็จะต้องมีการดูแลและคอยนับจำนวนสัตว์เลี้ยงที่อยู่ในความดูแลของพวกเราเสมอ อาจจะเพื่อการสำรองอาหารให้พอดีกับจำนวนสิ่งมีชีวิตที่เลี้ยงไว้ หรือ ป้องกันการลักลอบขโมยก็ได้ แล้วพวกเราเคยคิดกลับกันไหมว่า หากว่าเป็นในสมัยยุคดึกดำบรรพ์แล้วนั้น พวกเขาจะทำกันอย่างไร ในเมื่อในสมัยนั้นยังไม่มีการค้นพบตัวเลขใดๆทั้งสิ้น
          เริ่มแรกมนุษย์รู้จักจำนวนเพราะมีความจำเป็นต้องใช้ในการดำรงชีวิต คนเลี้ยงสัตว์ต้องนับจำนวนสัตว์ที่เลี้ยงว่ามีครบจำนวนหรือไม่ พวกเขาสามารถที่จะคอยนับจำนวนสัตว์เลี้ยงทีละตัวได้ด้วยการแทนก้อนหินหนึ่งก้อนเท่ากับจำนวนสัตว์หนึ่งตัวจึงเกิดจำนวนนับขึ้นมา
           ดังนั้นเราจึงเห็นว่า มนุษย์มีการคิดเรื่องจำนวนมาตั้งแต่สมัยดึกดำบรรพ์ และ จำนวนที่มนุษย์คิดขึ้นได้เป็นครั้งแรกนั้นก็คือ “จำนวนนับ” หรือ ยกตัวอย่างได้ง่ายๆก็คือ 1,2,3,4…..ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อต่อไป

- โครงสร้างและบทนิยามของระบบจำนวนจริง
- สมบัติของจำนวนจริง
- การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว
- การหารสังเคราะห์
- สมบัติของการไม่เท่ากัน
- ช่วง
- การแก้อสมการ
- สัจพจน์ความบริบุรณ์

จำนวนเต็ม

จากแผนภาพข้างต้น คือองค์ประกอบที่สำคัญของจำนวนจริง ทีนี้เรามาดูกันดีกว่านะคะว่านิยามของแต่ละตัวภายในระบบจำนวนจริงนั้น มีอะไรบ้าง

จำนวนเต็ม
จากหัวข้อที่แล้ว ที่เคยเกริ่นไว้ตั้งแต่แรกไว้ว่า จำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย mathbb{N}

หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย $mathbb{I}^+$ นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย

ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้

ตัวอย่าง

mathcal{I} = {0,1-,1,2,-2,3,-3, cdots}

$mathcal{I}^+ = {1,2,3,4,5, cdots}$

$mathcal{I}^- = {cdots ,-5,-4,-3,-2,-1}$

0 ไม่ถือว่าเป็นทั้งจำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนเต็มลบ แต่จะถือว่าเป็นเพียงแค่นวนเต็มศูนย์

จำนวนเศษส่วน
สำหรับเรื่องเศษส่วนจำนวนเต็ม เป็นไปได้โดยง่ายที่เราจะสามารถมองเห็นความแตกต่างระหว่างเศษส่วนและจำนวนเต็มได้เป็นอย่างดี

ตัวอย่าง
เศษส่วน : $displaystyle{frac{1}{2} , frac{22}{7} , -frac{131}{54}}$

            จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มนั้น ตัวส่วนจะต้องไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นแล้ว ค่าขอจำนวนจะกลายเป็นสิ่งที่ไม่สามารถหาค่าได้ หรือเป็น อินฟินิตี้

จำนวนตรรกยะ (rational number)
            จากแผนภาพทางข้างต้นที่กำหนดมาให้นั้น เราจะพบว่า ทั้งจำนวนเต็ม และจำนวนเศษส่วนนั้น ล้วนแล้วแต่เป็นองค์ประกอบของ จำนวนตรรกยะทั้งสิ้น แล้วมันเกี่ยวเนื่องกันอย่างไรละ ดังนั้น เราลองมาดูนิยามง่ายๆเกี่ยวกับความหมายของมันเลยดีกว่าคะ

           จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน $frac{a}{b}$ โดยที่

และ

เป็นจำนวนเต็ม และ b neq 0

จากนิยามทางข้างต้น ถ้าเราพบว่า

เป็นจำนวนเต็มใดๆ และ $displaystyle{a = frac{a}{1}}$ แล้วละก็ เราก็จะสามารถเขียน a ให้อยู่ในรูปของเศษส่วน ของจำนวนเต็มได้เสมอ เช่น $displaystyle{5= frac{5}{1} , 3= frac{3}{1} , 0= frac{0}{1} ,-4= -frac{4}{1}}$ ดังนั้น เราจะเห็นได้ชัดๆ เลยนะว่า จำนวนเต็มทุกจำนวน เป็นจำนวนตรรกยะ และตอนนี้เราจะให้ mathcal{Q}

แทนด้วยเซตของจำนวนตรรกยะ และเรามีนิยามสำหรับตัวมันเองด้วยก็คือ

$displaystyle{mathcal{Q} = {x | x =frac{a}{b}}$ เมื่อ displaystyle{a in mathcal{I}}

และ

จากทั้งหมดที่กล่าวถึงมานั้น ล้วนแล้วแต่เป็นความหมายที่เกี่ยวเนื่องกับจำนวนตรรกยะทั้งสิ้น ดังนั้น เราจะมาสรุปให้ชัดๆกันไปเลยว่า จำนวนตรรกยะนั้น ได้แก่จำนวนชนิดใดบ้าง ซึ่งจะแสดงให้ดูดังต่อไปนี้

1. จำนวนเต็ม
2. จำนวนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม โดยที่ตัวส่วนจะไม่เป็นศูนย์
3.จำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ
4.จำนวนที่เป็นทศนิยมซ้ำๆ

เรื่องสุดท้ายในหัวข้อนี้ เราจะรู้จักจำนวนนับ จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนเต็มลบ และจำนวนตรรกยะ จากที่กำหนดให้ว่า

mathcal{Q}

แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
mathcal{I}

แทนเซตของจำนวนเต็ม
mathcal{N}

แทนเซตของจำนวนนับ
$mathcal{I}^0$ แทนเซตของจำนวนเต็มศูนย์
$mathcal{I^+}$ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก
$mathcal{I^-}$ แทนเซตของจำนวนเต็มลบ

เซตของจำนวนตรรกยะ เป็นเซตที่มีขอบเขตเพียงแค่ การบวก การลบ การคูณ และการหาร นอกจากนั้น เราพบว่า

ผลบวกของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ

ผลลบของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ

ผลคูณของจำนวนตรรกยะ เป็นจำนวนตรรกยะ

แสดงว่าเซตของจำนวนตรรกยะ มีคุณสมปิดของการบวก การลบ และการคูณ

จำนวนอตรรกยะ (irrational number)
จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ แต่สามารถเขียนเป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำได้
เอ่ยแค่นิยาม ทุกคนก็คงจะทราบกันดีแล้วนะคะว่ามีความแตกต่างกันอย่างมากระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำเป็นต้องอยู่ในรูปของทศนิยมแบบรู้จบ และสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ง่ายๆเลยใช่ไหมคะ ยกตัวอย่างให้เห็นง่ายเลยคือ ในจำนวนอตรรกยะนั้นอย่างเช่น sqrt{2}

หรือ จำนวนในรูปที่ติดอยู่ในฟอร์มทศนิยมไม่ซ้ำ 2.449897. . ., 3.9681187. . . หรือกระทั่งจำนวนที่ติดอยู่ในรูปลักษณะพิเศษ เช่น

, c (c = 2.718 เป็นค่าประมาณ)
เมื่อเรานำเซตของจำนวนตรรกยะ มายูเนียนกับจำนวนอตรรกยะ เราก็จะได้เซตที่เรียกว่า “เซตของจำนวนจริง” ซึงในที่นี้เราเขียนแทนสัญลักษณ์ด้วย mathcal{R}

และเรามีนิยามเล็กๆเพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจด้วยว่า

mathcal{R} = {x| x

เป็นจำนวนตรรกยะ หรือ

เป็นจำนวนอตรรกยะ

ด้วยเหตุที่เซตของจำนวนตรรกยะ mathcal{Q}

และเซตของจำนวนอตรรกยะ mathcal{Q}'

เป็นเซตต่างสมาชิก และเมื่อนำมายูเนียนกันแล้ว จะได้เซต mathcal{R}

ดังนั้น เซตของจำนวนอตรรกยะ mathcal{Q}'= mathcal{R}-mathcal{Q}

สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = bc

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ a(bc) = (ab)c

4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

5. อินเวอร์สการคูณ a · a^-1 = 1 = a · a^-1, a ≠ 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี a^-1 เป็นอินเวอร์สของการคูณ

6. สมบัติการแจกแจง

a( b + c ) = ab + ac

( b + c )a = ba + ca

จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆได้ดังนี้

ทฤษฎีบทที่ 1 กฎการตัดออกสำหรับการบวก

เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b

ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการตัดออกสำหรับการคูณ

เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b

ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c

ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

a · 0 = 0

0 · a = 0

ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

(-1)a = -a

a(-1) = -a

ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ

a(-b) = -ab

(-a)b = -ab

(-a)(-b) = ab

การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

สมการพหุนาม(Polynomial equation) ที่มีตัวแปรเดียว หมายถึง สมการที่อยู่ในรูปของ $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ . . . +a_1x+a_0 = 0$ โดยที่ $a_n, a_{n-1}, cdots ,a_1, a_0$ เป็นค่าคงตัว

เป็นตัวแปรและ

เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ แล้วถ้า a_nneq 0

เราจะเรียกสมการพหุนามนี้ว่าเป็นสมการพหุนามดีกรี(degree)

ตัวอย่างเช่น

2x+1 = 0

เป็นสมการพหุนามดีกรี 1
2x^2+3x+1 = 0

เป็นสมการพหุนามดีกรี 2
3x^3+2x^2-12x-8 = 0

เป็นสมการพหุนามดีกรี 3

โดยที่นอกจาก การนำคุณสมบัติของระบบจำนวนจริง มาแก้ปัญหาสมการพหุนามดีกรี มากกว่าหรือเท่าหนึ่งแล้ว เราก็สามารถนำวิธีการอื่นมาใช้ได้อีกมากมายหลายวิธี เช่น การใช้สูตรการทำให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ การแยกตัวประกอบ ตัวนี้ละคะที่สำคัญมากๆ ในการที่จะนำมาใช้ เราอาจแยกตัวประกอบอย่างง่ายๆ โดยการทำให้อยู่ในรูปผลต่างกำลังสอง ผลบวกของกำลังสาม หรือ ผลต่างของกำลังสามก็ได้คะ โดยอาศัยจากสูตรข้างล่างนี้คะ

อธิบายอย่างเดียวก็เดี๋ยวจะง่วงกันเสียก่อน ดังนั้นเรามาลองทบทวนวิธีการแก้ปัญหาสมการพหุนามอย่างง่ายๆกันดีกว่านะคะ แต่ก่อนอื่นต้องขอบอกไว้ก่อนว่าวิธีการแยกตัวประกอบมีมากกว่าสามวิธีทางข้างต้นนะคะ รายละเอียดทั้งหมดจะแสดงอยู่ด้านล่างดังนี้คะ

การแก้สมการดีกรีสูงกว่าสอง โดยการแยกตัวประกอบ
1. การเอาตัวร่วมออก ax^2+bx-x = x(ax+b-1)

2. ผลต่างกำลังสอง a^2-b^2 = (a-b) (a+b)

3. ผลบวกกำลังสาม a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2)

4. ผลต่างกำลังสาม a^3-b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2)

5. กำลังสามของผลบวก (a+b)^3 = (a^3+3a^2b+ab^2+b^3)

6. กำลังสามของผลต่าง (a-b)^3 = (a^3-3a^2b+ab^2-b^3)

7. กำลังสองสมบูรณ์ (a+b)^2 = (a^2+2ab+b^2)

      8. การแยก สามพจน์เป็นสองวงเล็บ
      9. การแยกตัวประกอบโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

          จากเนื้อหาดังข้างต้น เราจะพบได้ว่า วิธีการอย่างหนึ่งที่กันอย่างมากในเรื่องของการแก้อสมการ นั้นก็คือ การแยกตัวประกอบ ซึ่งการแยกตัวประกอบจะง่ายหรือยากนั้นขึ้นอยู่กับ พหุนามที่กำหนดให้ และทฤษฎีบทที่มีประโยชน์มากในเรื่องของการแยกตัวประกอบ นั้นก็คือ ทฤษฎีบทเศษเหลือ ซึ่งเราจะกล่าวถึงต่อไป

การหารสังเคราะห์ (Synthetic division)
          การหารสังเคราะห์ เป็นเรื่องที่ว่าด้วยการหารพหุนาม ที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ด้วยพหุนามที่อยู่ในรูป x-a

เมื่อ

เช่น

วิธีการหาคำตอบ เราอาจใช้การหารยาว ซึ่งจะเสียเวลาและใช้เนื้อที่ในการเขียนมาก ดังนั้นการหารสังเคราะห์ เป็นวิธีลัดในการหาผลหาร และเศษจากการหาร จากตัวอย่างโจทย์ข้างต้น เราสามารถแสดงให้อยู่ในรูปของการหารสังเคราะห์ได้ดังนี้

2 -1 -8 15 แถวที่ 1

-4 -6 4 แถวที่ 2

2 3 -2 11 แถวที่ 3

ดังนั้น เราจึงสามารถสรุปขั้นตอนสำหรับการ หารสังเคราะห์ได้ดังนี้

สมมุติให้ P(x)

เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ถ้าต้องการหาร P(x)

ด้วย

เมื่อ

ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังนี้

1. เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่างๆ ของ P(x)

เมื่อเรียงดีกรีจากมากไปน้อยแล้ว ถ้าบางพจน์ไม่มีให้ถือ สัมประสิทธิ์นั้นเป็น 0
2. เขียน

เป็นตัวหาร
3. จำนวนแรกในแถวสาม จะเท่ากับจำนวนแรกในแถวหนึ่ง
4. นำ

ไปคูณกับจำนวนแรกของแถว 3 นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวสอง
5. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่งและแถวที่สองในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันของแถวที่สาม
6. นำ

คูณกับจำนวนใดตำแหน่งที่สองของแถวที่ สาม นำผลคูณไปใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่สอง
7. บวกจำนวนในแถวที่หนึ่ง และแถวที่สองในตำแหน่งที่สาม นำผลไปใส่ในตำแหน่งเดียวกัน ของแถว ที่สามทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนหมดทุกตำแหน่ง จะได้ว่า

* จำนวนทุกจำนวนในแถวที่สาม(ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร ซึ่งเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่า P(x) อยู่ 1
** จำนวนสุดท้ายในแถวที่สามเป็นเศษจากการหาร
*** ถ้าเศษเป็น 0 จะเรียกตัวหาร x-c ว่าตัวประกอบ P(x)

วันจันทร์ที่ 25 กรกฎาคม พ.ศ. 2554

จำนวนจริง (Real number)

จำนวนเต็ม

สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

ค้นหาบล็อกนี้